复习笔记 Day61-趴趴ACG导航漫画

间宫_卓司/连载中/2022-09-29 448.82万+

华东师范大学中值定理微分方程拉格朗日只有一个

61.1[华东师范大学2021]设在上连续可微，且

，

证明：

记，则首先因为，所以非空，设，则有，这是因为可以找到一个数列，满足，那么

但是因为，所以依拉格朗日中值定理，存在，使得，这与 $\mathrm{sup}S=c$ ，所以，即

，设，那么

，再依的任意性，有

61.2设关于单调递减，证明微分方程 $y'=f\left( x,y \right),y(x_0)=y_0$ 在上至多只有一个解

设是方程的两个解，那么，使得，记

，那么根据的连续性，当时，有或者，不妨设是前一种情况，那么 $x\in(x^*,x_1)$ 时，有 $y_{1}^{'}\left( x \right) -y_{2}^{'}\left( x \right) =f\left( x,y_1\left( x \right) \right) -f\left( x,y_2\left( x \right) \right) \le 0$ ，那么

，这与有 $y_1\left( x \right) >y_2\left( x \right)$ 矛盾，所以解至多只有一个

这两道题都是我看了答案后才会的，记录下来相当于是打破确界只能和Lebesgue方法搭配的偏见了···

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